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計算ノート
XXZ模型の平均場近似
励起子絶縁体とはバンドギャップの小さい半導体やバンドの重なりの小さい半金属においてクーロン相互作用により束縛された電子と正孔のペアである励起子がボース凝縮した状態である。EFK模型
\begin{align}
H_{EFK} =& \sum_{\langle ij\rangle}\qty(t_a a_i^\dagger a_j + t_b b^\dagger_i b_j) + h.c.\\
&+\frac{\Delta}{2}\sum_i{\qty(n_i^a - n_i^b)} + U\sum_{i}n_i^an_i^b,
\end{align}
は励起子絶縁体相を議論する上で最も単純な模型である。
\(a (b)\)は伝導（荷電子）バンドを表す。
ハーフフィリングで\(U\)が十分大きい場合は低エネルギー有効模型としてXXZ模型が得られる。
すなわち、擬スピン
\begin{align}
\tau^x_i &= a^\dagger_i b_i + b^\dagger_i a_i, \tau^y_i=i\qty(b^\dagger_i a_i - a^\dagger_i b_i),\\
\tau^z_i &= a_i^\dagger a_i - b_i^\dagger b_i,
\end{align}
により、
\begin{align}
H_{eff} = \frac{1}{2}\sum_{\ev{ij}}\qty(K_\parallel\tau^z_i\tau^z_j + K_\perp\qty(\tau^x_i\tau^x_j + \tau^y_i\tau^y_j)) + \frac{\Delta}{2}\sum_i\tau^z_i
\end{align}
となる。２次元正方格子を考え、チェッカーボードタイプの秩序が出ると仮定し平均場近似を行うと、
\begin{align}
H_{MF} =& \sum_{i\in A}\qty(K_\parallel\tau^z_i\ev{\tau^z}_B + K_\perp\qty(\tau^x_i\ev{\tau^x}_B + \tau^y_i\ev{\tau^y}_B)) + \frac{\Delta}{2}\sum_{i\in A}\tau^z_i\\
&+\sum_{i\in B}\qty(K_\parallel\tau^z_i\ev{\tau^z}_A + K_\perp\qty(\tau^x_i\ev{\tau^x}_A + \tau^y_i\ev{\tau^y}_A)) + \frac{\Delta}{2}\sum_{i\in B}\tau^z_i\\
&-\sum_{i}\qty(K_\parallel\ev{\tau^z}_A\ev{\tau^z}_B + K_\perp\qty(\ev{\tau^x}_A\ev{\tau^x}_B + \ev{\tau^y}_A\ev{\tau^y}_B))
\end{align}
となる。計算結果は
となる。\(\Delta\)が大きい（小さい）時、擬スピンは\(\downarrow (\uparrow)\)の強磁性となり、\(k_\parallel\)が大きい時反強磁性となる。それらの相の間に、励起子相が現れている。
参考文献：
J. Kunes, "Excitonic condensation in systems of strongly correlated electrons", Journal of Physics Condensed Matter, 27, 333201 (2015)